Teorema di Bayes o probabilità delle cause

Il teorema di Bayes è uno dei pilastri del calcolo delle probabilità . È una teoria avanzata da Thomas Bayes (1702-1761) nel XVIII secolo. Ma qual è lo scopo delle ricerche di questo famoso scienziato? La probabilità esprime in un processo casuale il rapporto tra il numero di casi favorevoli e il numero di casi possibili.

Sono state sviluppate molte teorie della probabilità che governano la nostra esistenza oggi. Quando andiamo dal medico ci prescrive il farmaco che più probabilmente si rivelerà utile nel nostro caso, così come gli inserzionisti dedicano le loro campagne alle persone che più probabilmente acquisteranno il prodotto che vogliono promuovere o ai turisti e ai viaggiatori che scelgono il percorso dove è probabile che ci sia meno coda.

La legge della probabilità totale è tra le più famose, quindi prima di parlare della Teorema di Bayes dovremo dedicare qualche riga alla spiegazione del primo. Per provare a capirlo basta fare un esempio .

Qual è la probabilità (P) che una persona scelta a caso dalla popolazione attiva di questo paese sia disoccupato ?

Secondo la teoria della probabilità i dati sarebbero espressi come segue:

• La probabilità che la persona sia di sesso femminile: P (M)
• La probabilità che la persona sia maschio: P (H)

Sapendo che il 39% della popolazione è composta da donne si deduce che: P(M) = 039.

È chiaro quindi che: P(H) = 1 – 039 = 061. Il problema posto all'inizio ci dà anche le probabilità condizionate:

• Probabilità che una persona sia disoccupata sapendo che è donna -> P (P | M) = 022
• Probabilità che una persona sia disoccupata sapendo che è maschio – P (P | H) = 014

Utilizzando il legge della probabilità totale avremo:

P (P) = P (M) P (P | M) P (H) P (P | H)

P(P) = 022 × 039 014 × 061

P(P) = 017

IL . Osserviamo che il risultato è a metà strada tra le due probabilità condizionate (022<017 <014). Inoltre è più prossimo al valore degli uomini perché nella popolazione di questo paese immaginario sono la maggioranza.

Scopriamo il teorema di Bayes

Supponiamo ora che un adulto venga scelto a caso per compilare un modulo e si osservi che non ha un lavoro. In questo caso e tenendo conto dell'esempio precedente, qual è la probabilità che questa persona scelta a caso sia una donna -P (M | P) -?

Per risolvere questo problema applicheremo il teorema di Bayes che viene utilizzato per calcolare la probabilità di un evento avendo informazioni in anticipo su di esso . Possiamo calcolare le probabilità di un evento A sapendo che soddisfa determinate caratteristiche (B).

In questo caso parliamo della probabilità che la persona scelta a caso per compilare un modulo sia una donna. Ma quello

La formula del teorema di Bayes

Come ogni altro teorema abbiamo bisogno di una formula.

Sembra complicato ma tutto ha una spiegazione. Pensiamo per parti. Cosa significa ogni lettera?

B è l'eventodi cui disponiamo di informazioni preliminari.
• L la lettera A (n) si riferisce ai diversi eventi condizionati.
• Nella parte numeratore abbiamo il probabilità condizionata . Si riferisce alla probabilità che qualcosa (un evento A) accada sapendo che accadrà anche un altro evento (B). È definita come P (A | B) ed è espressa come: La probabilità di A dato B .
• Al denominatore abbiamo l'equivalente di P (B) e segue la stessa spiegazione del punto precedente.

Un esempio

Ritornando all'esempio precedente supponiamo che un adulto venga scelto a caso per compilare un questionario e si osservi che lo è disoccupato . Quali sono le probabilità che la persona prescelta sia una donna?

Sappiamo che il 39% della popolazione attiva è composta da donne mentre il resto lo è uomini . Sappiamo anche che la percentuale delle donne disoccupate è del 22% e quella degli uomini è del 14%.

Infine sappiamo anche che la probabilità che una persona scelta a caso sia disoccupata è 017. Se applichiamo la formula del teorema di Bayes il risultato che otterremo è che esiste una probabilità 05 che una persona scelta a caso tra i disoccupati

P (M | P) = (P (M) * P (P | M) / P (P)) = (022 * 039) / 017 = 05

Il teorema di Bayes deriva dalla congiunzione dei teoremi della probabilità composita e assoluta che abbiamo spiegato all'inizio. La sua caratteristica principale è che funziona in tutte le interpretazioni della probabilità.

Poiché può essere utilizzato per calcolare la probabilità di una causa che ha innescato l'evento la sua importanza risiede nel modo in cui ha storicamente influenzato lo studio della statistica . Oggi, infatti, si conoscono due principali scuole (una frequentista e l'altra bayesiana) che si contrappongono a partire dall'interpretazione data a questa teoria.

Chiudiamo con una curiosità: sapevate che lo spam elettronico (quello di Internet pubblicità via email) funziona grazie al teorema di Bayes?